Квантильная функция - Quantile function

В пробит это квантильная функция из нормальное распределение.

В вероятность и статистика, то квантиль функция, связанный с распределение вероятностей из случайная переменная, задает значение случайной переменной, так что вероятность того, что переменная меньше или равна этому значению, равна заданной вероятности. Его еще называют процентная функция или же обратная кумулятивная функция распределения.

Определение

Что касается непрерывной и строго монотонной функции распределения, например, кумулятивная функция распределения ${displaystyle F_ {X} двоеточие R o [0,1]}$ из случайная переменная Икс, квантильная функция Q возвращает пороговое значение Икс ниже которого будут выпадать случайные розыгрыши из заданного c.d.f п процентов времени.

В терминах функции распределения F, квантильная функция Q возвращает значение Икс такой, что

{displaystyle F_ {X} (x): = Pr (Xleq x) = p.,}

Кумулятивная функция распределения (показанная как F (х)) дает п значения как функция q значения. Функция квантиля делает обратное: она дает q значения как функция п значения.

Другой способ выразить функцию квантиля:

{displaystyle Q (p), =, inf left {xin mathbb {R}: pleq F (x) ight}}

для вероятности 0 <п <1. Здесь мы фиксируем тот факт, что функция квантиля возвращает минимальное значение Икс среди всех тех значений, у которых значение c.d.f превышает п, что эквивалентно предыдущему утверждению вероятности в частном случае, когда распределение является непрерывным. Обратите внимание, что функция инфимума можно заменить функцией минимума, так как функция распределения непрерывна справа и слабо монотонно возрастает.

Квантиль - это уникальная функция, удовлетворяющая Неравенства Галуа

{displaystyle Q (p) leq x}

если и только если

{displaystyle pleq F (x)}

Если функция F непрерывно и строго монотонно возрастает, то неравенства можно заменить равенствами, и мы имеем:

{displaystyle Q = F ^ {- 1}}

В общем, даже если функция распределения F может не обладать левый или правый обратный, квантильная функция Q ведет себя как "почти наверняка левый обратный" для функции распределения в том смысле, что

{displaystyle Q (F (X)) = X}

почти наверняка.

Простой пример

Например, кумулятивная функция распределения Экспоненциальный (λ) (т.е. интенсивность λ и ожидаемое значение (иметь в виду ) 1/λ) является

{displaystyle F (x; lambda) = {egin {cases} 1-e ^ {- lambda x} & xgeq 0, 0 & x <0.end {cases}}}

Функция квантиля для экспоненциальной (λ) получается путем нахождения значения Q, для которого ${displaystyle 1-e ^ {- лямбда Q} = p}$ :

{displaystyle Q (p; lambda) = {frac {-ln (1-p)} {lambda}} ,!}

для 0 ≤п <1. квартили поэтому:

первый квартиль (p = 1/4): ${displaystyle -ln (3/4) / lambda,}$
медиана (р = 2/4): ${displaystyle -ln (1/2) / lambda,}$
третий квартиль (p = 3/4): ${displaystyle -ln (1/4) / lambda.,}$

Приложения

Квантильные функции используются как в статистических приложениях, так и в Методы Монте-Карло.

Функция квантиля - это один из способов задания вероятностного распределения и альтернатива функция плотности вероятности (pdf) или функция массы вероятности, то кумулятивная функция распределения (cdf) и характеристическая функция. Квантильная функция, Q, вероятностного распределения является обратный кумулятивной функции распределения F. Производная функции квантили, а именно функция плотности квантиля, является еще одним способом задания распределения вероятностей. Это обратная величина PDF, составленная с помощью функции квантиля.

Для статистических приложений пользователям необходимо знать ключевые процентные точки данного распределения. Например, для них требуются медиана и квартили 25% и 75%, как в приведенном выше примере, или уровни 5%, 95%, 2,5%, 97,5% для других приложений, таких как оценка Статистическая значимость наблюдения, распределение которого известно; увидеть квантиль Вход. До популяризации компьютеров в книгах не было ничего необычного в том, чтобы иметь приложения со статистическими таблицами, отбирающими функцию квантиля.^[1] Статистические приложения функций квантилей подробно обсуждаются Гилкристом.^[2]

Моделирование Монте-Карло использует функции квантилей для получения неоднородных случайных или псевдослучайные числа для использования в различных типах имитационных расчетов. Выборка из данного распределения может быть в принципе получена путем применения ее функции квантиля к выборке из равномерного распределения. Требования, например, к методам моделирования в современных вычислительные финансы уделяют все больше внимания методам, основанным на функциях квантилей, поскольку они хорошо работают с многомерный методы, основанные либо на связка или квази-Монте-Карло методы^[3] и Методы Монте-Карло в финансах.

Характеристики

${displaystyle int _ {0} ^ {1} ppf (x), dx = mu}$ (Интеграл от обратных функций, Выборка с обратным преобразованием )

Расчет

Оценка функций квантилей часто включает: численные методы, как пример экспоненциального распределения выше, является одним из немногих распределений, где выражение в закрытой форме можно найти (другие включают униформа, то Weibull, то Лямбда Тьюки (который включает логистика ) и логистика ). Когда сам cdf имеет выражение в закрытой форме, всегда можно использовать числовое алгоритм поиска корней такой как метод деления пополам чтобы инвертировать cdf. Другие алгоритмы оценки функций квантилей приведены в Числовые рецепты серия книг. Алгоритмы для общих распределений встроены во многие статистическое программное обеспечение пакеты.

Квантильные функции можно также охарактеризовать как решения нелинейных обыкновенных и частичных дифференциальные уравнения. В обыкновенные дифференциальные уравнения для случаев нормальный, Ученик, бета и гамма распределения были даны и решены.^[4]

Нормальное распределение

В нормальное распределение это, пожалуй, самый важный случай. Поскольку нормальное распределение - это семья в масштабе местности, его функция квантиля для произвольных параметров может быть получена путем простого преобразования функции квантиля стандартного нормального распределения, известного как пробит функция. К сожалению, эта функция не имеет представления в замкнутой форме с использованием основных алгебраических функций; в результате обычно используются приблизительные представления. Тщательные сложные рациональные и полиномиальные приближения были даны Вичурой.^[5] и Аклам.^[6] Несоставные рациональные приближения были разработаны Шоу.^[7]

Обыкновенное дифференциальное уравнение для нормального квантиля

Нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение для нормального квантиля, ш(п), может быть дано. это

{displaystyle {frac {d ^ {2} w} {dp ^ {2}}} = wleft ({frac {dw} {dp}} ight) ^ {2}}

с центральными (начальными) условиями

{displaystyle wleft (1/2ight) = 0 ,,}

{displaystyle w'left (1 / 2ight) = {sqrt {2pi}}.,}

Это уравнение может быть решено несколькими методами, включая классический подход степенных рядов. На основе этого могут быть разработаны решения с произвольно высокой точностью (см. Steinbrecher and Shaw, 2008).

Распределение Стьюдента

Исторически это был один из наиболее сложных случаев, поскольку наличие параметра ν, степеней свободы, затрудняет использование рациональных и других приближений. Простые формулы существуют, когда ν = 1, 2, 4, и проблема может быть сведена к решению многочлена, когда ν четно. В других случаях квантильные функции могут быть представлены в виде степенных рядов.^[8] Вот простые случаи:

ν = 1 (распределение Коши)

{displaystyle Q (p) = an (pi (p-1/2))!}

ν = 2: ${displaystyle Q (p) = 2 (p-1/2) {sqrt {frac {2} {alpha}}}!}$

ν = 4: ${displaystyle Q (p) = operatorname {sign} (p-1/2), 2, {sqrt {q-1}}!}$

куда

{displaystyle q = {frac {cos left ({frac {1} {3}} arccos left ({sqrt {alpha}}, ight) ight)} {sqrt {alpha}}}!}

и

{displaystyle alpha = 4p (1-p).!}

В приведенном выше "знаке" функция +1 для положительных аргументов, -1 для отрицательных аргументов и ноль в нуле. Не следует путать с тригонометрической функцией синуса.

Квантильные смеси

Аналогично смеси плотностей, распределения можно определить как квантильные смеси

{displaystyle Q (p) = sum _ {i = 1} ^ {m} a_ {i} Q_ {i} (p)}

,

куда ${displaystyle Q_ {i} (p)}$ , ${displaystyle i = 1, ldots, m}$ являются квантильными функциями и ${displaystyle a_ {i}}$ , ${displaystyle i = 1, ldots, m}$ параметры модели. Параметры ${displaystyle a_ {i}}$ должен быть выбран так, чтобы ${displaystyle Q (p)}$ Карванен представил две четырехпараметрические смеси квантилей, смесь нормальных полиномов квантилей и смесь квантилей полиномов Коши.^[9]

Нелинейные дифференциальные уравнения для функций квантили

Нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение для нормальное распределение является частным случаем того, что доступно для любой функции квантили, у которой существует вторая производная. В общем, уравнение для квантиля, Q(п), может быть дано. это

{displaystyle {frac {d ^ {2} Q} {dp ^ {2}}} = H (Q) left ({frac {dQ} {dp}} ight) ^ {2}}

дополнен подходящими граничными условиями, где

{displaystyle H (x) = - {гидроразрыв {f '(x)} {f (x)}}}

и ƒ(Икс) - функция плотности вероятности. Формы этого уравнения и его классический анализ с помощью рядов и асимптотических решений для случаев нормального распределения, распределения Стьюдента, гамма- и бета-распределений были разъяснены Steinbrecher и Shaw (2008). Такие решения обеспечивают точные тесты, а в случае Student - подходящую серию для живого использования в Монте-Карло.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Абернати, Роджер В. и Смит, Роберт П. (1993) *«Применение разложения в ряд к обратному бета-распределению, чтобы найти процентили F-распределения», ACM Trans. Математика. Софтв., 9 (4), 478–480 Дои:10.1145/168173.168387
Уточнение нормального квантиля
Новые методы управления "студенческим" распределением T
ACM-алгоритм 396: t-квантили Стьюдента

[1] «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 24 марта 2012 г.. Получено 25 марта, 2012.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (связь)

[2] Гилкрист, В. (2000). Статистическое моделирование с помощью квантильных функций. ISBN 1-58488-174-7.

[3] Jaeckel, P. (2002). Методы Монте-Карло в финансах.

[4] Штайнбрехер, Г., Шоу, В.Т. (2008). «Квантильная механика». Европейский журнал прикладной математики. 19 (2): 87–112. Дои:10.1017 / S0956792508007341.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)

[5] Вичура, М.Дж. (1988). «Алгоритм AS241: процентные точки нормального распределения». Прикладная статистика. Блэквелл Паблишинг. 37 (3): 477–484. Дои:10.2307/2347330. JSTOR 2347330.

[6] Алгоритм вычисления обратной функции нормального кумулятивного распределения В архиве 5 мая 2007 г. Wayback Machine

[7] Вычислительные финансы: дифференциальные уравнения для повторного использования методом Монте-Карло

[8] Шоу, W.T. (2006). «Выборочное распределение Стьюдента - использование обратной кумулятивной функции распределения». Журнал вычислительных финансов. 9 (4): 37–73.

[9] Карванен, Дж. (2006). «Оценка квантильных смесей с помощью L-моментов и усеченных L-моментов». Вычислительная статистика и анализ данных. 51 (2): 947–956. Дои:10.1016 / j.csda.2005.09.014.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

Теория распределения вероятностей
функция массы вероятности (pmf) функция плотности вероятности (pdf) кумулятивная функция распределения (cdf) квантильная функция
грубый момент центральный момент иметь в виду отклонение стандартное отклонение перекос эксцесс L-момент
момент-производящая функция (мгс) характеристическая функция функция, генерирующая вероятность (пгф) кумулянт комбинант