Некоммутативное условное ожидание - Non-commutative conditional expectation

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) Эта статья требует внимания специалиста по математике. Пожалуйста, добавьте причина или разговаривать в этот шаблон, чтобы объяснить проблему со статьей. ВикиПроект по математике может помочь нанять эксперта. (Ноябрь 2014 г.) Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найдите источники: «Некоммутативное условное ожидание»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Ноябрь 2014 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, некоммутативное условное ожидание является обобщением понятия условное ожидание в классическом вероятность. Пространство измеримых функций на ${ displaystyle sigma}$пространство конечной меры ${ Displaystyle (Х, му)}$ канонический пример коммутативная алгебра фон Неймана. По этой причине теорию алгебр фон Неймана иногда называют некоммутативной теорией меры. Интимные связи теория вероятности с теорией меры предполагают, что можно расширить классические идеи вероятности до некоммутативной ситуации, изучив эти идеи на общих алгебрах фон Неймана.

Для алгебр фон Неймана с точным нормальным следовым состоянием, например конечных алгебр фон Неймана, понятие условного ожидания особенно полезно.

Формальное определение

Позволять ${ Displaystyle { mathcal {R}} substeq { mathcal {S}}}$ быть алгебрами фон Неймана (${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ и ${ Displaystyle { mathcal {R}}}$ может быть общим C * -алгебры а также) положительное линейное отображение ${ displaystyle Phi}$ из ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ на ${ Displaystyle { mathcal {R}}}$ считается условное ожидание (из ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ на ${ Displaystyle { mathcal {R}}}$) когда ${ Displaystyle Phi (I) = I}$ и ${ Displaystyle Phi (R_ {1} SR_ {2}) = R_ {1} Phi (S) R_ {2}}$ если ${ Displaystyle R_ {1}, R_ {2} in { mathcal {R}}}$ и ${ displaystyle S in { mathcal {S}}}$.

Приложения

Теорема Сакаи

Позволять ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ - С * -подалгебра С * -алгебры ${ displaystyle { mathfrak {A}}, varphi _ {0}}$ идемпотентное линейное отображение ${ displaystyle { mathfrak {A}}}$ на ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ такой, что ${ Displaystyle | varphi _ {0} | = 1, { mathfrak {A}}}$ действующий на ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ универсальное представление ${ displaystyle { mathfrak {A}}}$. потом ${ displaystyle varphi _ {0}}$ однозначно продолжается до сверхслабонепрерывного идемпотентного линейного отображения ${ displaystyle varphi}$ из ${ Displaystyle { mathfrak {A}} ^ {-}}$, слабое операторное замыкание ${ displaystyle { mathfrak {A}}}$, на ${ Displaystyle { mathcal {B}} ^ {-}}$, слабое операторное замыкание ${ displaystyle { mathcal {B}}}$.

В приведенной выше настройке результат^[1] впервые доказанное Томиямой, можно сформулировать следующим образом.

Теорема. Позволять ${ displaystyle { mathfrak {A}}, { mathcal {B}}, varphi, varphi _ {0}}$ быть таким, как описано выше. потом ${ displaystyle varphi}$ это условное ожидание от ${ Displaystyle { mathfrak {A}} ^ {-}}$ на ${ Displaystyle { mathcal {B}} ^ {-}}$ и ${ displaystyle varphi _ {0}}$ это условное ожидание от ${ displaystyle { mathfrak {A}}}$ на ${ displaystyle { mathcal {B}}}$.

С помощью теоремы Томиямы изящное доказательство Результат Сакаи о характеризации тех С * -алгебр, которые * -изоморфны алгебрам фон Неймана.

Примечания

Рекомендации

• Кадисон, Р.В., Некоммутативные условные ожидания и их приложения// Современная математика. 365 (2004), стр. 143–179.