Трехпараметрическая поверхность текучести Уиллама-Варнке.
В Уильям – Варнке критерий доходности [1] это функция, которая используется для прогнозирования, когда произойдет сбой в конкретный и другие связующие фрикционные материалы, такие как камень, почва, и керамика. Этот критерий доходности имеет функциональный вид
![f (I_ {1}, J_ {2}, J_ {3}) = 0,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d0dd5e18845f3489fe47756bbd4c23303563b93)
куда
- первый инвариант тензора напряжений Коши, а
- второй и третий инварианты девиаторной части тензора напряжений Коши. Есть три материальных параметра (
- прочность на одноосное сжатие,
- прочность на одноосное растяжение,
- прочность на равноосное сжатие), которые должны быть определены до того, как критерий текучести Виллама-Варнке может быть применен для прогнозирования разрушения.
С точки зрения
, критерий текучести Уиллама-Варнке можно выразить как
![f: = {sqrt {J_ {2}}} + лямбда (J_ {2}, J_ {3}) ~ ({frac {I_ {1}} {3}} - B) = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/426efd891398d97e3593b8da6cbd610472bf0f91)
куда
это функция, которая зависит от
и три материальных параметра и
зависит только от параметров материала. Функция
можно интерпретировать как угол трения, который зависит от угла Лоде (
). Количество
интерпретируется как давление сцепления. Таким образом, критерий урожайности Уиллама-Варнке можно рассматривать как комбинацию Мор-Кулон и Друкер – Прагер критерии доходности.
Функция доходности Уиллама-Варнке
Вид трехпараметрической поверхности текучести Уиллама-Варнке в трехмерном пространстве главных напряжений для
![сигма _ {c} = 1, сигма _ {t} = 0,3, сигма _ {b} = 1,7](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00baa059af07c1f1117c397bc723891d4701ab46)
След трехпараметрической поверхности текучести Уиллама-Варнке в
![сигма _ {1} -сигма _ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/660f8a7f08dcffa268ba74e4799238d6116647b8)
-самолет для
![сигма _ {c} = 1, сигма _ {t} = 0,3, сигма _ {b} = 1,7](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00baa059af07c1f1117c397bc723891d4701ab46)
В исходной статье трехпараметрическая функция доходности Уиллама-Варнке была выражена как
![{displaystyle f = {cfrac {1} {3z}} ~ {cfrac {I_ {1}} {sigma _ {c}}} + {sqrt {cfrac {2} {5}}} ~ {cfrac {1} { r (heta)}} {cfrac {sqrt {J_ {2}}} {sigma _ {c}}} - 1leq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6c0a527de4b5acc7c1645fa92261a535cc8710e)
куда
- первый инвариант тензора напряжений,
- второй инвариант девиаторной части тензора напряжений,
- предел текучести при одноосном сжатии, а
- угол Лоде, определяемый формулой
![heta = {frac {1} {3}} cos ^ {{- 1}} left ({cfrac {3 {sqrt {3}}} {2}} ~ {cfrac {J_ {3}} {J_ {2}) ^ {{3/2}}}} право) ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea262800d65cc562ea6524be4c7e903cd5079bbd)
Географическое место границы поверхности напряжений в плоскости девиаторных напряжений выражается в полярных координатах величиной
который дается
![r (heta): = {cfrac {u (heta) + v (heta)} {w (heta)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d47cfc4aa9f7d2dc7c9093569cee47cece8a676)
куда
![{начало {выровнено} u (heta): = & 2 ~ r_ {c} ~ (r_ {c} ^ {2} -r_ {t} ^ {2}) ~ cos heta v (heta): = & r_ {c } ~ (2 ~ r_ {t} -r_ {c}) {sqrt {4 ~ (r_ {c} ^ {2} -r_ {t} ^ {2}) ~ cos ^ {2} heta + 5 ~ r_ {t} ^ {2} -4 ~ r_ {t} ~ r_ {c}}} w (heta): = & 4 (r_ {c} ^ {2} -r_ {t} ^ {2}) cos ^ {2} heta + (r_ {c} -2 ~ r_ {t}) ^ {2} конец {выровнено}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/431bb4a254636c9dcf8ce11a99ec2d2020457f13)
Количество
и
описать векторы положения в местах
и может быть выражено через
как (здесь
- напряжение разрушения при равно-двухосном сжатии и
напряжение разрушения при одноосном растяжении)
![r_ {c}: = {sqrt {{cfrac {6} {5}}}} слева [{cfrac {sigma _ {b} sigma _ {t}} {3sigma _ {b} sigma _ {t} + sigma _ {c} (sigma _ {b} -sigma _ {t})}} ight] ~; ~~ r_ {t}: = {sqrt {{cfrac {6} {5}}}} left [{cfrac {sigma _ {b} sigma _ {t}} {sigma _ {c} (2sigma _ {b} + sigma _ {t})}} ight]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d6dcb744d85d41b3ef898af0fd514f59351d2f7)
Параметр
в модели задается
![z: = {cfrac {sigma _ {b} sigma _ {t}} {sigma _ {c} (sigma _ {b} -sigma _ {t})}} ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6735dd145b2a406be417eb9f1cd4dad0487a5bb0)
В Представительство Haigh-Westergaard условия текучести Уиллама-Варнке можно записать как
![f (xi, ho, heta) = 0, quad Equiv quad f: = {ar {lambda}} (heta) ~ ho + {ar {B}} ~ xi -sigma _ {c} leq 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/763d371ca43e9b9610493954c556967ef5109241)
куда
![{ar {B}}: = {cfrac {1} {{sqrt {3}} ~ z}} ~; ~~ {ar {lambda}}: = {cfrac {1} {{sqrt {5}} ~ r (heta)}} ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56bfa5be7337ae1521b48d24640e8a2e2a415a0e)
Модифицированные формы критерия текучести Уиллама-Варнке
Ульм-Кусси-Базан версия трехпараметрической поверхности текучести Уиллама-Варнке в
![число Пи](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a)
-самолет для
![сигма _ {c} = 1, сигма _ {t} = 0,3, сигма _ {b} = 1,7](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00baa059af07c1f1117c397bc723891d4701ab46)
Альтернативная форма критерия текучести Уиллама-Варнке в Координаты Хай-Вестергаарда это форма Ульм-Кусси-Базана:[2]
![f (xi, ho, heta) = 0, quad {ext {or}} quad f: = ho + {ar {lambda}} (heta) ~ left (xi - {ar {B}} ight) = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce0ff6101639ea8f8a09b7539ecde48d8e83497)
куда
![{ar {lambda}}: = {sqrt {{frac {2} {3}}}} ~ {cfrac {u (heta) + v (heta)} {w (heta)}} ~; ~~ {ar { B}}: = {frac {1} {{sqrt {3}}}} ~ left [{cfrac {sigma _ {b} sigma _ {t}} {sigma _ {b} -sigma _ {t}}} свет]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bd471008a68918fb96fb755a53a80b2cf595fe6)
и
![{egin {выравнивается} r_ {t}: = & {cfrac {{sqrt {3}} ~ (sigma _ {b} -sigma _ {t})} {2sigma _ {b} -sigma _ {t}}} r_ {c}: = & {cfrac {{sqrt {3}} ~ sigma _ {c} ~ (sigma _ {b} -sigma _ {t})} {(sigma _ {c} + sigma _ {t }) sigma _ {b} -sigma _ {c} sigma _ {t}}} конец {выровнено}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23b294912787d482c84a9b4d899b1efafcaba81a)
Количество
интерпретируются как коэффициенты трения. Для того чтобы поверхность текучести была выпуклой, критерий текучести Уиллама-Варнке требует, чтобы
и
.
Вид Ульм-Кусси-Базана трехпараметрической поверхности текучести Уиллама-Варнке в трехмерном пространстве главных напряжений для ![сигма _ {c} = 1, сигма _ {t} = 0,3, сигма _ {b} = 1,7](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00baa059af07c1f1117c397bc723891d4701ab46) | След версии Ульма-Кусси-Базанта трехпараметрической поверхности текучести Уиллама-Варнке в ![сигма _ {1} -сигма _ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/660f8a7f08dcffa268ba74e4799238d6116647b8) -самолет для ![сигма _ {c} = 1, сигма _ {t} = 0,3, сигма _ {b} = 1,7](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00baa059af07c1f1117c397bc723891d4701ab46) |
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Уильям, К. Дж. И Варнке, Э. П. (1975). «Основополагающие модели трехосного поведения бетона». Труды Международной доц. по проектированию мостов и сооружений, том 19, стр. 1–30.
- ^ Ульм, Ф.-Дж., Кусси, О., Базант, З. (1999) Огонь «Чуннель». I: Химиопластическое размягчение в быстро нагретом бетоне. Журнал инженерной механики ASCE, вып. 125, нет. 3. С. 272-282.
- Чен, В. Ф. (1982). Пластичность в железобетоне. Макгроу Хилл. Нью-Йорк.
внешняя ссылка