Математическая таблица - Mathematical table
![Старая книга открыта для столбцов чисел, обозначенных синусом, тангенсом и секансом.](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4b/Bernegger_Manuale_136.jpg/150px-Bernegger_Manuale_136.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Bernegger_Manuale_137.jpg/150px-Bernegger_Manuale_137.jpg)
Математические таблицы - это списки чисел, показывающие результаты вычислений с различными аргументами. Столы тригонометрических функций использовались в Древней Греции и Индии для приложений к астрономия и небесная навигация. Они продолжали широко использоваться до электронные калькуляторы стал дешевым и доступным, чтобы упростить и значительно ускорить вычисление. Таблицы логарифмы и тригонометрические функции были распространены в учебниках по математике и естествознанию, а специализированные таблицы были опубликованы для множества приложений.
История и использование
Первые таблицы тригонометрические функции известно, что они были сделаны Гиппарх (190-120 гг. до н.э.) и Менелай (около 70–140 гг. н. э.), но оба были потеряны. Вместе с сохранившаяся таблица Птолемея (ок. 90 - ок. 168 г. н. э.), все они были таблицами аккордов, а не полуаккордов, то есть синус функция.[1] В таблица произведена индийским математиком Арьябхатой (476–550 гг. Н. Э.) Считается первой когда-либо построенной таблицей синусов.[1] Таблица Арьябханы оставалась стандартной таблицей синусов древней Индии. Постоянно предпринимались попытки улучшить точность этой таблицы, что привело к открытию расширения степенного ряда функций синуса и косинуса на Мадхава Сангамаграмы (ок. 1350 - ок. 1425) и подведение итогов таблица синусов Мадхавы со значениями с точностью до семи или восьми десятичных знаков.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/thumb/b/b8/Four-Place_Mathematical_Tables_cover.jpg/130px-Four-Place_Mathematical_Tables_cover.jpg)
Таблицы десятичный логарифм использовались до изобретения компьютеров и электронных калькуляторов для быстрого умножения, деления и возведения в степень, включая извлечение пй корни.
Механические компьютеры специального назначения, известные как разностные двигатели были предложены в 19 веке для составления полиномиальных приближений логарифмических функций, то есть для вычисления больших логарифмических таблиц. Это было мотивировано в основном ошибками в логарифмических таблицах, сделанными человеческие компьютеры времени. Первые цифровые компьютеры были разработаны во время Второй мировой войны отчасти для производства специализированных математических таблиц для прицеливания. артиллерия. Начиная с 1972 г., с запуском и расширением использования научные калькуляторы, большинство математических таблиц вышли из употребления.
Одной из последних крупных попыток создания таких таблиц была Математические таблицы это было начато в 1938 году как проект Управления прогресса работ (WPA), в котором было задействовано 450 безработных клерков для составления таблиц высших математических функций. Это длилось всю Вторую мировую войну.[нужна цитата ]
Таблицы специальные функции все еще используются. Например, использование таблиц значений кумулятивная функция распределения из нормальное распределение - так называемый стандартные нормальные таблицы - сегодня остается обычным явлением, особенно в школах.
Создание таблиц, хранящихся в оперативная память это общий оптимизация кода техники в компьютерном программировании, где использование таких таблиц ускоряет вычисления в тех случаях, когда поиск в таблице быстрее, чем соответствующие вычисления (особенно если рассматриваемый компьютер не имеет аппаратной реализации вычислений). По сути, один меняет скорость вычислений на объем памяти компьютера требуется для хранения таблиц.
Таблицы логарифмов
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Logarithmorum_Chilias_Prima_page_0-67.jpg/220px-Logarithmorum_Chilias_Prima_page_0-67.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/Abramowitz%26Stegun.page97.agr.jpg/220px-Abramowitz%26Stegun.page97.agr.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9f/APN2002-table3-30deg.tiff/lossless-page1-220px-APN2002-table3-30deg.tiff.png)
Таблицы, содержащие десятичный логарифм (основание 10) широко использовались в вычислениях до появления электронных калькуляторов и компьютеров, потому что логарифмы преобразовывают задачи умножения и деления в гораздо более простые задачи сложения и вычитания. Логарифмы с основанием 10 имеют дополнительное свойство, которое является уникальным и полезным: десятичный логарифм чисел больше единицы, которые различаются только в степени десяти, имеют одинаковую дробную часть, известную как мантисса. Таблицы десятичных логарифмов обычно включали только мантиссы; целая часть логарифма, известная как характеристика, можно легко определить, посчитав цифры в исходном номере. Подобный принцип позволяет быстро вычислять логарифмы положительных чисел меньше 1. Таким образом, для всего диапазона положительных десятичных чисел можно использовать единую таблицу десятичных чисел.[2] Видеть десятичный логарифм для получения подробной информации об использовании характеристик и мантисс.
История
В 1544 г. Майкл Стифель опубликовано Арифметика интегра, который содержит таблицу целых чисел и степеней двойки, которая считается ранней версией логарифмической таблицы.[3][4][5]
Метод логарифмов был публично предложен Джон Напье в 1614 г. в книге под названием Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Описание чудесного правила логарифмов).[6] Книга содержала пятьдесят семь страниц пояснительных материалов и девяносто страниц таблиц, связанных с натуральные логарифмы. Английский математик Генри Бриггс посетил Napier в 1615 году и предложил изменить масштаб Логарифмы Напьера сформировать то, что сейчас известно как общий или десятичный логарифм. Напье поручил Бриггсу вычисление исправленной таблицы. В 1617 г. они опубликовали Logarithmorum Chilias Prima («Первая тысяча логарифмов»), в котором дается краткое описание логарифмов и таблица первых 1000 целых чисел, вычисленных до 14-го десятичного знака.
Вычислительный прогресс, доступный через десятичный логарифм, обратное преобразование мощных чисел или экспоненциальная запись, была такова, что вычисления выполнялись вручную намного быстрее.
Тригонометрические таблицы
Тригонометрические вычисления сыграли важную роль в раннем изучении астрономии. Ранние таблицы строились путем многократного применения тригонометрические тождества (например, тождества половинного угла и суммы углов) для вычисления новых значений из старых.
Простой пример
Чтобы вычислить синус функция 75 градусов, 9 минут, 50 секунд с использованием таблицы тригонометрических функций, таких как таблица Бернеггера из 1619 года, показанная выше, можно просто округлить до 75 градусов, 10 минут, а затем найти 10-минутную запись на странице 75 градусов, показано вверху справа, что составляет 0,9666746.
Однако этот ответ точен только до четырех десятичных знаков. Если бы кто-то хотел большей точности, можно было бы интерполировать линейно следующим образом:
Из таблицы Бернеггера:
- sin (75 ° 10 ′) = 0,9666746
- sin (75 ° 9 ′) = 0,9666001
Разница между этими значениями составляет 0,0000745.
Поскольку в одной угловой минуте 60 секунд, мы умножаем разницу на 50/60, чтобы получить поправку (50/60) * 0,0000745 ≈ 0,0000621; а затем добавьте эту поправку к sin (75 ° 9 ′), чтобы получить:
- sin (75 ° 9 ′ 50 ″) ≈ sin (75 ° 9 ′) + 0,0000621 = 0,9666001 + 0,0000621 = 0,9666622
Современный калькулятор дает sin (75 ° 9 '50 ″) = 0,96666219991, поэтому наш интерполированный ответ имеет точность до 7-значной точности таблицы Бернеггера.
Для таблиц с большей точностью (больше цифр на значение) может потребоваться интерполяция более высокого порядка для получения полной точности.[7] В эпоху до появления электронных компьютеров интерполяция табличных данных таким образом была единственным практическим способом получения высокоточных значений математических функций, необходимых для таких приложений, как навигация, астрономия и геодезия.
Чтобы понять важность точности в таких приложениях, как навигация, обратите внимание, что на уровень моря одна угловая минута вдоль земной экватор или меридиан (действительно, любой большой круг ) равно примерно одному морская миля (1,852 км или 1,151 миль).
Смотрите также
- Абрамовиц и Стегун Справочник по математическим функциям
- Различный двигатель
- Эфемериды
- Таблица групп
- История логарифмов
- Морской альманах
- Матрица
- Таблица умножения
- Таблица случайных чисел
- Таблица (информация)
- Таблица истинности
- Юрий Вега
Рекомендации
- ^ а б Дж. Дж. О'Коннор и Э. Ф. Робертсон (июнь 1996 г.). «Тригонометрические функции». Получено 4 марта 2010.
- ^ Э. Р. Хедрик, Логарифмические и тригонометрические таблицы (Макмиллан, Нью-Йорк, 1913).
- ^ Стифелио, Михаэле (1544 г.), Арифметика Интегра, Лондон: Иоан Петрейум
- ^ Бухштаб, А.А .; Печаев, В. (2001) [1994], «Арифметика», Энциклопедия математики, EMS Press
- ^ Вивиан Шоу Гроза и Сюзанна М. Шелли (1972), Математика Precalculus, Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон, стр. 182, г. ISBN 978-0-03-077670-0
- ^ Эрнест Уильям Хобсон (1914), Джон Нэпьер и изобретение логарифмов, 1614 г., Кембридж: Издательство университета
- ^ Абрамовиц и Стегун Справочник по математическим функциям, Введение § 4
- Кэмпбелл-Келли, Мартин (2003), История математических таблиц: от Шумера до электронных таблиц, Оксфордская стипендия онлайн, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850841-0
внешняя ссылка
- LOCOMAT : Перепись математических и астрономических таблиц.