Статья со списком Википедии
| Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Список лимитов» – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Август 2019 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) |
Это Список пределы для общего функции. В этой статье термины а, б и c являются константами относительно Икс.
Пределы для общих функций
Определения пределов и связанных понятий
если и только если
. Это (ε, δ) -определение предела.
Верхний предел и нижний предел последовательности определяются как
и
.
Функция,
, называется непрерывным в точке, c, если
.
Операции с одним известным пределом
![{displaystyle {ext {If}} lim _ {x o c} f (x) = L {ext {then:}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f50a2ea8969617d73b186162b39c0f36a8a8404b)
![{displaystyle lim _ {x o c}, [f (x) pm a] = Lpm a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e1d3ef86a2d1c54fd7e6cfe84ecc0c4a8809cd8)
[1][2][3]
[4] если L не равно 0.
[1][2][3]
[1][3]
В общем, если г (х) непрерывно на L и
тогда
[1][2]
Операции на двух известных лимитах
![ext {Если} lim_ {x o c} f (x) = L_1 ext {и} lim_ {x o c} g (x) = L_2 ext {тогда:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82d29a7167580dcc8bada75e8b48b3693875d328)
[1][2][3]
[1][2][3]
[1][2][3]
Пределы, связанные с производными или бесконечно малыми изменениями
В этих пределах бесконечно малое изменение
часто обозначается
или же
. Если
является дифференцируемый в
,
. Это определение производная. Все правила дифференциации также могут быть переформулированы как правила, предусматривающие ограничения. Например, если g (x) дифференцируема в x,
. Это Правило цепи.
. Это правило продукта.
![lim_ {h o0} left (frac {f (x + h)} {f (x)} ight) ^ frac {1} {h} = expleft (frac {f '(x)} {f (x)} ight) )](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11d7e228e328f7c206e0bdf7a26f2b8684c7d4c)
![{displaystyle lim _ {h o 0} {left ({f (x (1 + h)) over {f (x)}} ight) ^ {1 over {h}}} = exp left ({frac {xf ' (x)} {f (x)}} ight)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/942c956bb9d9415e620bf752f4e37d9b8cbaaf4e)
Если
и
дифференцируемы на открытом интервале, содержащем c, кроме, возможно, самого c, и
, Правило л'Опиталя может быть использован:
[2]
Неравенства
Если
для всех x в интервале, который содержит c, кроме, возможно, самого c, и предел
и
оба существуют в c, тогда
[5]
и
для всех x в открытом интервале, содержащем c, кроме, возможно, самого c,
. Это известно как теорема сжатия.[1][2] Это применимо даже в тех случаях, когда f (x) и g (x) принимают разные значения в c или разрываются в c.
Многочлены и функции вида Икса
[1][2][3]
Многочлены от x
[1][2][3]
![{displaystyle lim _ {x o c} (ax + b) = ac + b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2541766256fd7760536e6c72536a5da1c5914866)
[5]![{displaystyle lim _ {x o infty} x / a = {egin {cases} infty, & a> 0 {ext {не существует}}, & a = 0 -infty, & a <0end {cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60cd118eb5756d5c47f7dd92b18e7605ac56d6b)
В общем, если
является многочленом, то по непрерывности многочленов
[5]
Это также верно для рациональные функции, поскольку они непрерывны на своих доменах.[5]
Функции формы Икса
[5] Особенно,