Горман полярная форма - Gorman polar form

Горман полярная форма это функциональная форма для косвенные функции полезности в экономика. Навязывание этой формы полезность позволяет исследователю рассматривать общество максимизаторов полезности, как если бы оно состояло из единого "представительное" физическое лицо. Горман показал, что имея функция взять полярную форму Гормана - это оба необходимо и достаточно для выполнения этого условия.

Мотивация

Стандарт теория потребления разработан для одного потребителя. У потребителя есть функция полезности, по которой можно рассчитать его кривые спроса. Затем можно предсказать поведение потребителя в определенных условиях, изменение цен или доходов. Но на самом деле существует множество разных потребителей, каждый со своей функцией полезности и кривой спроса. Как мы можем использовать теорию потребителей, чтобы предсказать поведение всего общества? Один из вариантов - представить все общество в виде единого «мега-потребителя», который имеет функцию совокупной полезности и кривую совокупного спроса. Но в каких случаях действительно возможно представить все общество как единого потребителя?

Формально:^[1] рассмотреть экономику с ${ displaystyle n}$ потребителей, каждый из которых имеет функция спроса это зависит от его дохода ${ Displaystyle м ^ {я}}$ и система цен:

{ Displaystyle х ^ {я} (п, м ^ {я})}

Совокупный спрос общества - это, как правило, функция системы цен и всего распределения доходов:

{ Displaystyle Х (п, м ^ {1}, точки, м ^ {п}) = сумма _ {я = 1} ^ {п} {х ^ {я} (р, м ^ {я}) }}

Чтобы представить все общество как единого потребителя, совокупный спрос должен быть функцией только цен и общий доход, независимо от его распределения:

{ Displaystyle X (p, m ^ {1}, dots, m ^ {n}) = X (p, sum _ {i = 1} ^ {n} {m ^ {i}})}

При каких условиях можно таким образом представить совокупный спрос?

Ранние результаты Антонелли (1886) и Натаф (1953) показали, что, если предположить, что все люди сталкиваются с одинаковыми ценами на рынке, их кривые доходов и потребления Кривые Энгеля (расходы как функция доходов) должны быть параллельными прямыми линиями. Это означает, что мы можем рассчитать кривую дохода-потребления для всего общества, просто суммируя кривые потребителей. Другими словами, предположим, что все общество получает определенный доход. Этот доход каким-то образом распределяется между членами общества, затем каждый член выбирает свое потребление в соответствии со своей кривой дохода-потребления. Если все кривые представляют собой параллельные прямые линии, совокупный спрос общества будет независимо от распределения доходов между агентами.

Форма Гормана функции расходов

В первой опубликованной в 1953 году статье Гормана эти идеи были развиты, чтобы ответить на вопрос о представлении общества одним человеком. В 1961 году Горман опубликовал короткую четырехстраничную статью в Метроэкономика которые получили явное выражение для функциональной формы предпочтений, приводящих к линейным кривым Энгеля. В расходная функция каждого потребителя ${ displaystyle i}$ (сумма денег, необходимая для достижения определенного уровня полезности в определенной системе цен) должна быть линейной по полезности:

{ Displaystyle е ^ {я} влево (п, и ^ {я} вправо) = е ^ {я} (р) + г (р) CDOT и ^ {я}}

,

где оба ${ Displaystyle е ^ {я} влево (п вправо)}$ и ${ Displaystyle г влево (п вправо)}$ находятся однородный первой ступени в ценах ( ${ displaystyle p}$ , вектор). Это условие однородности гарантирует, что ${ Displaystyle е ^ {я} влево (п, и вправо)}$ дает линейные кривые Энгеля.

${ Displaystyle е ^ {я} влево (п вправо)}$ и ${ Displaystyle г влево (п вправо)}$ есть хорошие интерпретации: ${ Displaystyle е ^ {я} влево (п вправо)}$ расходы, необходимые для достижения нулевого эталонного уровня полезности для каждого человека ( ${ displaystyle i}$ ), пока ${ Displaystyle г влево (п вправо)}$ это индекс цен, который дефлирует избыточный денежный доход ${ Displaystyle е ^ {я} влево (р, и вправо) -f ^ {я} (р)}$ необходимо для достижения уровня полезности ${ displaystyle { bar {u}}}$ . Важно отметить, что ${ Displaystyle г влево (п вправо)}$ одинакова для каждого человека в обществе, поэтому кривые Энгеля для всех потребителей параллельны.

Форма Гормана косвенной функции полезности

Обращение этой формулы дает косвенная функция полезности (полезность как функция цены и дохода):

{ displaystyle v ^ {i} left (p, m ^ {i} right) = { frac {m ^ {i} -f ^ {i} (p)} {g (p)}}}

,

куда ${ displaystyle m}$ - сумма дохода, доступная физическому лицу, и эквивалентна расходам ( ${ Displaystyle е ^ {я} влево (п, и ^ {я} вправо)}$ ) в предыдущем уравнении. Это то, что Горман назвал «полярной формой лежащей в основе функции полезности». Горман использует термин полярный была ссылка на идею о том, что косвенная функция полезности может рассматриваться как использующая полярные, а не декартовы (как в прямых функциях полезности) координаты для описания кривой безразличия. Здесь доход ( ${ Displaystyle м ^ {я}}$ ) аналогичен радиусу и ценам ( ${ displaystyle p}$ ) под углом.

Примеры

Два типа предпочтений, имеющих полярную форму Гормана:^[2]^:154

Квазилинейные утилиты

Когда функция полезности агента ${ displaystyle i}$ имеет вид:

{ Displaystyle и_ {я} (х, м) = и_ {я} (х) + м}

косвенная функция полезности имеет (в предположении внутреннего решения) форму:

{ displaystyle v_ {i} (p, m) = v_ {i} (p) + m}

который является частным случаем формы Гормана.

Действительно, маршаллианская функция спроса на нелинейный товар потребителей с квазилинейными коммунальными услугами вообще не зависит от дохода (в этом квазилинейном случае спрос на линейный товар линейен по доходу):

{ displaystyle x_ {i} (p, m) = (- dv (p) / dm) / (v (p) / dp_ {i}) = - 1 / (dv (p) / dp_ {i}) = (v_ {i} ') ^ {- 1} (p) = v_ {i}' (p) ^ {- 1}}

Следовательно, функция совокупного спроса на нелинейный товар также не зависит от дохода:

{ Displaystyle X (p, M) = sum _ {i = 1} ^ {n} {(v_ {i} ') ^ {- 1} (p)}}

Все общество может быть представлено одним репрезентативным агентом с квазилинейной функцией полезности:

{ Displaystyle U (х, м) = U (х) + м}

где функция ${ displaystyle U}$ удовлетворяет равенству:

{ displaystyle (U ') ^ {- 1} (p) = sum _ {i = 1} ^ {n} {(v_ {i}') ^ {- 1} (p)}}

В особом случае, когда все агенты имеют одинаковую функцию полезности ${ Displaystyle и (х, м) = и (х) + м}$ , функция совокупной полезности:

{ Displaystyle U (х, М) = п CDOT и ({х над п}) + М}

Гомотетические предпочтения

Косвенная функция полезности имеет вид:

{ Displaystyle v (p, m_ {i}) = v (p) cdot m}

который также является частным случаем формы Гормана.

В частности: линейные утилиты Леонтьева и Кобба-Дугласа гомотетичны и, следовательно, имеют форму Гормана.

Доказательство линейности и равенства наклона кривых Энгеля.

Чтобы доказать, что Кривые Энгеля функции в полярной форме Гормана равны линейный, подать заявление Личность Роя к косвенная функция полезности чтобы получить Маршаллианская функция спроса для физического лица ( ${ displaystyle i}$ ) и хороший ( ${ displaystyle n}$ ):

{ displaystyle x_ {n} ^ {i} (p, m ^ {i}) = - { frac { frac { partial v ^ {i} (p, m ^ {i})} { partial p_ {n}}} { frac { partial v ^ {i} (p, m ^ {i})} { partial m ^ {i}}}} = { frac { partial f ^ {i} ( p)} { partial p_ {n}}} + { frac { partial g (p)} { partial p_ {n}}} cdot { frac {mf ^ {i} (p)} {g (п)}}}

Это линейно по доходу ( ${ displaystyle m}$ ), поэтому изменение индивидуального спроса на какой-либо товар по сравнению с изменением дохода этого человека, ${ displaystyle { frac { partial x_ {n} ^ {i} (p, m ^ {i})} { partial m}} = { frac { frac { partial g (p)} { частичный p_ {n}}} {g (p)}}}$ , не зависит от дохода, поэтому кривые Энгеля линейны.

Кроме того, поскольку это изменение не зависит от переменные Для каждого индивидуума наклоны кривых Энгеля у разных индивидуумов равны.

Заявление

Многие применения полярной формы Гормана резюмируются в различных текстах и в статье Хонохана и Нири.^[3] Эти приложения включают простоту оценки ${ displaystyle f ^ {i} (p)}$ и ${ displaystyle g (p)}$ в некоторых случаях. Но наиболее важное приложение предназначено для теоретиков экономики, поскольку оно позволяет исследователю рассматривать общество максимизирующих полезность индивидов как отдельную личность. Другими словами, в этих условиях сообщество отображение безразличия существует гарантированно.